Tối hôm đó, tôi ngồi trong phòng và nghĩ lại cuộc hội thoại với Tetra. Tetra thoáng qua với vẻ chân thành và năng động. Tôi thấy được một tiềm năng từ em ấy. Mong là em sẽ học được cách tận hưởng toán học.

Cái lúc tôi dạy em ấy, tôi chuyển qua ngay chế độ thầy giáo. Nó khác hẳn với lúc nói chuyện với Miruka. Với cô ấy thì tôi phải cố mà đuổi kịp. Lắm lúc chính cô ấy là người dạy tôi. Càng nghĩ làm tôi càng nhớ đến bài tập mà Miruka giao cho. Đó là lần đầu tôi nhận một bài tập về nhà từ chính bạn học.

Bài tập của Miruka giao.

Mô tả phương pháp để tính tổng các ước số của số nguyên dương n cho trước.

Tôi biết là tôi có thể giải câu này bằng cách tìm tất cả ước của n và cộng chúng lại, nhưng làm thế nghe hơi gian lận. Nên đó sẽ là phương án cuối cùng, có vẻ bắt đầu với việc phân tích thừa số nguyên tố của n sẽ hợp lý hơn.

Tôi nghĩ về bài toán chúng tôi thảo luận hồi trưa, với 1024 = 2^10. Có vẻ phải khái quát hóa nó rồi, như là viết n thành một lũy thừa của một số nguyên tố:

n = p^m với số nguyên tố p, và số nguyên dương m.

Nếu n = p^m, thì tôi sẽ có phương trình p = 2 và m = 10. Và nếu tôi liệt kê tất cả các ước số của n như tôi đã làm với 1024, thì nó sẽ thế này:

1, p, p^2, p^3,... ,p^m.

Vậy với n = p^m, tôi có thể tính tổng của các ước số bằng cách cộng hết chúng lại:

(Tổng ước số của n) = 1 + p + p^2 + ... +p^m

Nhưng đó mới chỉ cho những số nguyên dương n có thể viết dưới dạng n = p^m. Không dùng để khái quát hóa cho các số khác. Nhưng nó cũng không quá khó, việc tôi cần làm bây giờ chính là phân tích thừa số nguyên tố.

Một cách để viết phép phân tích thừa số nguyên tố cho một số n là dùng p, q, r... Cho các số nguyên tố và a, b, c... cho những số nguyên dương và nó sẽ viết như thế này:

n = p^a x q^b x r^c... x Úi!

Từ đã. Dùng mỗi chữ cái thì không ổn lắm. Nếu tôi cứ dùng a, b, c... thì tất nhiên là nó sẽ chạy đến p, q, r... Lúc đó phương trình sẽ biến thành một mớ hỗn độn.

Thứ tôi muốn viết thành trông sẽ như này 2^3 x 3^1 x 7^4 x... 13^3, kết quả thu được sẽ là tích của dãy các số có dạng "Số nguyên tố ^ số nguyên". Nên tôi có thể viết các số nguyên tố thành p0, p1, p2,...pm và bên còn lại là a0, a1, a2..., am. Thêm mấy chữ nhỏ như thế làm mọi thứ trông phức tạp hơn một chút, nhưng ít nhất là tôi đang có hướng làm rồi. Đồng thời tôi cũng có thể dùng m + 1 biểu thị cho số nhân tử trong phép phân tích thừa số nguyên tố của n. Tôi bắt đầu viết lại.

Giờ cho một số nguyên n, tôi có thể khái quát hóa phép phân tích thừa số nguyên tố của nó như sau:

n = p0^a0 x p1^a1 x ... x pm^am,

Trong đó p0, p1,... pm là các số nguyên tố và a0, a1, a2,... am là các số nguyên dương. Khi n trong dạng này, thì ước số của n sẽ như thế này:

p0^b0 x p1^b1 x p2^b2 x ... x pm^bm,

trong đó b0, b1, b2,... ,bm là các số nguyên tố:

b0 = một trong các số 0, 1, 2, 3,... ,a0

b1 = một trong các số 0, 1, 2, 3,... ,a1

b2 = một trong các số 0, 1, 2, 3,... ,a2

...

bm = một trong các số 0, 1, 2, 3,... ,am

Chợt, tôi nhìn lại những gì đã viết mới nhận ra nó bừa bộn thế nào, nên đã viết lại tỉ mỉ hơn. Nhưng nói chung, ý của tôi là để biểu diễn một ước số, bạn chỉ cần giữ nguyên cơ số là những số nguyên tố, và tăng dần số mũ kiểu 0, 1, 2... từng cái một lần lượt. Nhưng làm kiểu này chả khác nào một nồi lẩu hổ lốn các chữ cái và kí hiệu.

Với những gì đang có, tôi đoán phần còn lại sẽ dễ dàng thôi. Để tính tổng của các ước số, cứ cộng hết chúng lại là được. 

(Tổng các ước số của) = 1 + p0 + p0^2 + p0^3 + ... + p0^a0

                                    + 1 + p1 + p1^2 + p1^3 + ... + p1^a1

                                    + 1 + p2 + p2^2 + p2^3 + ... + p2^a2

                                    + ...

                                    + 1 + pm + pm^2 + pm^3 + ... + pm^am 

Tôi dừng lại một chút, rồi nhận ra những gì đang viết là sai. Đó không phải là tổng các ước số, mà mới chỉ là tổng của các ước số được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một số nguyên tố, trong khi trước đó đã nêu một ước số còn có dạng: 

p0^b0 x p1^b1 x p2^b2 x ... x pm^bm

Vì thế, tôi đã tìm cách tổ hợp các lũy thừa của một số nguyên tố, nhân những số trong tổ hợp đó, rồi mới cộng chúng lại. Sẽ đơn giản hơn nếu viết nó thành phương trình thay vì ghi thành lời, và thế là tôi đã làm xong.

Lời giải của tôi cho bài tập của Miruka.

Phân tích nhân tử số dương n, ta được:

n = n = p0^a0 x p1^a1 x ... x pm^am,

Trong đó p0, p1,... pm là các số nguyên tố và a0, a1, a2,... am là các số nguyên dương. Vậy tổng các ước số của n sẽ là:

(Tổng các ước số của) = (1 + p0 + p0^2 + p0^3 + ... + p0^a0)

                                     x (1 + p1 + p1^2 + p1^3 + ... + p1^a1)

                                     x (1 + p2 + p2^2 + p2^3 + ... + p2^a2)

                                     x ...

                                     x (1 + pm + pm^2 + pm^3 + ... + pm^am)

Tôi đi ngủ với một chút băn khoăn còn cách nào gọn hơn để viết phương trình đó hay không... Với cả, tôi cũng chưa tự tin cách làm này là đúng.